Si l'on assujettit les variations des coordonnées à satisfaire aux courbes décrites, on a dio, dio, etc. on a donc alors

0=2.p.df;

et comme les courbes décrites sont elles-mêmes arbitraires et ne sont assujetties qu'aux conditions de la liaison des parties du système, l'équation précédente a lieu, pourvu que ces conditions soient remplies, et alors l'équation (k) se change dans l'équation (1). Cette équation est la traduction analytique du principe suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.

་་

་་

Si l'on fait varier infiniment peu la position d'un système de « corps, en l'assujettissant aux conditions qu'il doit remplir, la « somme des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par l'espace que le corps auquel elle est appliquée parcourt suivant sa direction, doit être égale à zéro, dans le cas de l'équilibre du système. »

Non-seulement ce principe a lieu dans le cas de l'équilibre, mais il en assure l'existence. Supposons, en effet, que l'équation (1) ayant lieu, les points m, m', etc. prennent les vitesses v, v', etc. en vertu des forces mS, m'S', etc. qui leur sont appliquées. Ce système serait en équilibre, en vertu de ces forces et de celles-ci— mv, — m'v', etc. désignons par du, dv', etc. les variations des directions de ces nouvelles forces; on aura, par le principe des vitesses virtuelles, Σ.mS.8s-2. m. v dv;

mais on a, par la supposition, o. m S. &s; on a donc Σ.m.vdv. Les variations dv, dv', etc. devant être assujetties aux conditions du système, on peut les supposer égales à vdt, v'dt, etc. et alors on a o=Σ.mv', équation qui donne v=o, v'=o, etc. c'est-à-dire que le système est en équilibre, en vertu des seules forces mS, m'S', etc.

Les conditions de la liaison des parties d'un système peuvent toujours se réduire à des équations entre les coordonnées de ses

différents corps. Soient u=o, u'=o, u'o, etc. ces diverses équations; on pourra, par le n° 3, ajouter à l'équation (1) la fonction λδη +λ δι' + etc. ou Σ.λ. δι; λ, λ', etc. étant des fonctions indéterminées des coordonnées des corps; cette équation deviendra ainsi

dans ce cas, les variations de toutes les coordonnées seront arbitraires, et l'on pourra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations au moyen desquelles on déterminera les fonctions X, X', etc. Si l'on compare ensuite cette équation à l'équation (k), on aura

Σ.λ.δα=Σ.ρ.δf+Σ.Β.δη;

d'où il sera facile de conclure les actions réciproques des corps m, m', etc. et les pressions -R, -R', etc. qu'ils exercent contre les surfaces auxquelles ils sont assujettis.

15. Si tous les corps du système sont fixement attachés ensemble, sa position sera déterminée par celle de trois de ses points qui ne sont pas en ligne droite; la position de chacun de ces points dépend de trois coordonnées, ce qui produit neuf indéterminées; mais les distances mutuelles des trois points étant données et invariables, on peut, à leur moyen, réduire ces indéterminées à six autres qui, substituées dans l'équation (1), introduiront six variations arbitraires; en égalant à zéro leurs coefficients, on aura six équations qui renfermeront toutes les conditions de l'équilibre du système; développons ces équations.

Pour cela, soient x, y, z, les coordonnées de m; a', y', z', celles de m'; x", y", 2", celles de m", etc. on aura

ƒ = √(x'—x)2+(y'—y)2 + ( ¿'— z )*,

f

on aura fo, df=o, df"=o, etc. les conditions à satisfaire seront donc remplies, et l'on aura, en vertu de l'équation (1),

б

S

б

o=2.mS. o=2.ms. (33), 0=2.mS.

" бх

б

on aura ainsi trois des six équations qui renferment les conditions de l'équilibre du système. Les seconds membres de ces équations sont les sommes des forces du système, décomposées parallèlement aux trois axes des x, des y et des z; chacune de ces sommes doit donc être nulle dans le cas de l'équilibre.

Les équations &f=0, dƒ'=o, dƒ"=o, etc. seront encore satisfaites, si l'on suppose z, z, z", etc. invariables, et si l'on fait dx=y.dw, dy = -x.dw; dx'=y'.dw, dy'——x'. d☎;

etc.

d☎ étant une variation quelconque. En substituant ces valeurs dans l'équation (1), on aura

Il est visible que l'on peut changer dans cette équation, soit les coordonnées x, x', x", etc. soit les coordonnées y, y', y", etc. en z, z', z", etc. ce qui donnera deux autres équations qui, réunies à la précédente, formeront le système suivant d'équations,

la fonction 2.m S. y. (32) est, par le n° 3, la somme des mo

бх

ments de toutes les forces parallèles à l'axe des x, pour faire tourner le système autour de l'axe des z. Pareillement la fonction

Σ.m S.x.

б

y

est la somme des moments de toutes les forces parallèles à l'axe des y, pour faire tourner le système autour de l'axe des z, mais en sens contraire des premières forces; la première des équations (n) indique, par conséquent, que la somme des moments des forces est nulle par rapport à l'axe des z. La seconde et la troisième de ces équations indiquent semblablement que la somme des moments des forces est nulle, soit par rapport à l'axe des y, soit par rapport à l'axe des x. En réunissant ces trois conditions à celles-ci, savoir que les sommes des forces parallèles à ces axes soient nulles par rapport à chacun d'eux, on aura les six conditions de l'équilibre d'un système de corps invariablement unis ensemble.

Si l'origine des coordonnées est fixe, et attachée invariablement au système, elle détruira les forces parallèles aux trois axes, et les conditions de l'équilibre du système autour de cette origine se réduiront à ce que les sommes des moments des forces pour le faire tourner autour des trois axes soient nulles relativement à chacun d'eux.

Supposons que les corps m, m', m", etc. ne soient animés que par la pesanteur. Son action étant la même sur tous ces corps, et les directions de la pesanteur pouvant être supposées les mêmes dans toute l'étendue du système, on aura

les trois équations (n) seront satisfaites, quelle que soit la direction de s, ou de la pesanteur, au moyen des trois suivantes : 0=2.mx, 0=Σ Σ.my, Σ.mz. (0)

L'origine des coordonnées étant supposée fixe, elle détruira, parallèlement à chacun des trois axes, les forces S.

бя

Σ.m,

Sx

Σ.m, S. .2.m; en composant ces trois forces, on

aura une force unique égale à S.Σ.m, c'est-à-dire, égale au poids

du système.

Cette origine des coordonnées autour de laquelle nous supposons ici le système en équilibre est un point du système trèsremarquable, en ce qu'étant soutenu, le système animé par la pesanteur reste en équilibre, quelque situation qu'on lui donne autour de ce point que l'on nomme centre de gravité du système. Sa position est déterminée par la condition que, si l'on fait passer par ce point un plan quelconque, la somme des produits de chaque corps, par sa distance à ce plan, est nulle; car cette distance est une fonction linéaire des coordonnées x, y, z, du corps; en la multipliant donc par la masse du corps, la somme de ces produits sera nulle en vertu des équations (o).

Pour fixer la position du centre de gravité, soient X, Y, Z, ses trois coordonnées par rapport à un point donné; soient x, y, z, les coordonnées de m, rapportées au même point; x', y', z', celles de m', et ainsi de suite; les équations (o) donneront

o=Σ.m.(x-X);

mais on a Σ.m.X=X.Σ,m, Σ.m étant la masse entière du système; on a donc