Lorsque les orbites sont peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres, on a vu, no 48, que R peut toujours se réduire dans une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps t. On peut les représenter généralement par le terme km'. cos.i'n't+int+A}, i et i' étant des nombres entiers positifs ou négatifs, ou zéro. La différentielle de ce terme, prise uniquement par rapport au moyen mouvement de m, estik.m'.ndt. sin. i'n't+int+A}; c'est la partie de dR relative à ce terme : elle ne peut pas être constante, à moins que l'on n'ait —i'n'+in, ce qui suppose les moyens mouvements des corps m et m' commensurables entre eux; et comme cela n'a point lieu dans le système solaire, on doit en conclure que la valeur de dR ne renferme point de termes constants, et qu'ainsi, en ne considérant que la première puissance des masses perturbatrices, les moyens mouvements des corps célestes sont uniformes, ou, ce qui revient au même o. La valeur de a étant liée à celle de n au moyen de l'équation n'= il en résulte que si l'on néglige les quantités périodiques, les grands axes des orbites sont constants. dn dt μ Si les moyens mouvements des corps m et m', sans être exactement commensurables, approchent cependant beaucoup de l'être, il existera dans la théorie de leurs mouvements des inégalités d'une longue période, et qui pourront devenir fort sensibles à raison de la petitesse du diviseur a2. Nous verrons dans la suite que ce cas est celui de Jupiter et de Saturne. L'analyse précédente donnera d'une manière fort simple la partie des perturbations qui dépend de ce diviseur. Il en résulte qu'il suffit alors de faire varier la longitude moyenne nte ou fndt, de la quantité fndt.fdR; ce qui revient à faire croître n, dans l'intégrale fndt, de la quantité fdR; or, en considérant l'orbite 3 a μ 3 an μ μ α de m comme une ellipse variable, on a n2= "; la variation précédente de n introduit donc dans le demi-grand axe a de l'orbite la variation 2a1.fdR μ dv dt Si l'on porte dans la valeur de la précision jusqu'aux quantités de l'ordre des carrés des masses perturbatrices, on trouvera des termes proportionnels au temps; mais en considérant avec attention les équations différentielles du mouvement des corps m, m', etc. on s'assurera facilement que ces termes sont en même temps de l'ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. Cependant, comme tout ce qui affecte le moyen mouvement peut à la longue devenir fort sensible, nous aurons dans la suite égard à ces termes, et nous verrons qu'ils produisent les équations séculaires observées dans le mouvement de la lune. 55. Reprenons maintenant les équations (1) et (2) du n° 53, et supposons Les expressions de (0, 1) et de peuvent être déterminées fort simplement de cette manière. En substituant, au lieu de C et de D, leurs valeurs déterminées dans le n° 50, on aura (0) on obtiendra facilement, par le même numéro, et (0) (1) da fonctions de b, et de b; et ces quantités sont données en fonc Soit (a2 — 2 aa'. cos.0+a'3) * = (a,a')+(a,a')'. cos.0+(a,a')". cos.20+etc. on aura, par le n° 49, 3 m'. na3a'. (a,a')' (0, 1) 4. (a'-a') (1) en substituant, au lieu de b, et de ses différences, leurs valeurs (0) (1) en b et b on trouvera la fonction précédente égale à (0) On aura donc ainsi des expressions fort simples de (0, 1) et de 0.1]; et il est facile de se convaincre, par les valeurs en séries de b données dans le n° 49, que ces expressions sont positives si n est positif, et négatives si n est négatif. et de b (1) 19 Nommons (0, 2) et 0.2, ce que deviennent (o,) et, lorsque l'on y change a' et m' dans a" et m". Nommons pareillement (0, 3) et [0,3] ce que deviennent ces mêmes quantités, lorsque l'on y change a' et m', en a" et m"; et ainsi de suite. Désignons, de plus, par h", 1"; h", 1", etc. les valeurs de h et de l, relatives aux corps m", m", etc. on aura, en vertu des actions réunies des différents corps m', m", m", etc. sur m, 0,1 -0.2.1"- etc. {(0, 1) + (0, 2) + (0,3) + etc. . -. l' {(0, 1)+(0, 2) + (0,3) + etc.}.h+h+0.2.h" + etc. facile de conclure de celles-ci, en y changeant successivement ce qui est relatif à m, dans ce qui a rapport à m', m", etc. et réciproquement. Soient donc lorsque l'on y change ce qui est relatif à m, dans ce qui est relatif à m', et réciproquement; soient encore, dh dt dl dt (0, 1), 0,1), etc. lorsque l'on y change ce qui est relatif à m, dans ce qui est relatif à m”, et réciproquement, et ainsi de suite. Les équations différentielles précédentes rapportées successivement aux corps m, m', m", etc. donneront, pour déterminer h, l, h', l', h', l', etc. le système suivant d'équations, { (0, 1) + (0, 2) + (0, 3) + etc. } .l— [0, 1 1" 0,2 0,3.1" — etc. {(0, 1) + (0, 2) + (0,3) + etc.}.h+ [0,1] .h'+ 0.2.h"+ 0,3 .h"+etc. (1,0), O h"+ [1,3] .h" + etc. 2,3.1"- etc. h' + [2,3] .h" + etc. Les quantités (0,1) et (1, 0), o, et, ont entre elles des rapports remarquables qui peuvent en faciliter le calcul, et qui nous seront utiles dans la suite. On a, par ce qui précède, (A) l 2,0 2,1 l-2,3 h + 2, 1 |
