bre entier une valeur d'autant plus grande qu'on les éloigne da vantage de la place des unités en allant de droite à gauche.

De même donc que pour donner au nombre entier 35 une valeur dix fois, cent fois, mille fois plus grande, on n'a autre chose à faire que d'ajouter à sa droite le nombre de zéro nécessaires pour l'éloigner d'une, deux, ou trois places de celle des unités; ce qui en ferait successivement 350, 3500, 35000. De même aussi, pour donner à la fraction décimale o.3 une valeur dix fois, cent fois, mille fois, etc. plus petite, on l'éloignera d'une, deux ou trois places de celle des unités, en plaçant à sa gauche les zéro nécessaires, et l'on aura successivement 0.03, 0.003, 0.0003.

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Personne n'ignore que les zéro qui sont placés à la gauche d'un nombre entier n'en augmentent ni n'en diminuent en aucune façon la valeur; les zéro placés à la droite d'une fraction décimale n'en altèrent de même en rien la valeur; ils produisent cependant un effet qu'il est à propos d'expliquer.

Une fraction décimale ne diffère d'une fraction ordinaire qu'en ce qu'elle a toujours pour dénominateur l'unité accompagnée d'un nombre de zéro égal à celui des chiffres dont est composé le numérateur.

Ainsi la fraction décimale 0.27 est égale à la fraction ordinaire 27/100, les fractions décimales 0.419, 0.008075 sont égales aux fractions ordinaires 419/1000, 807571000000, et ainsi des

autres.

Or on sait que si l'on multiplie par un nombre égal les deux termes d'une fraction ordinaire, on n'en change point la valeur, mais on lui donne seulement une expression différente. Si l'on multiplie par 3 chacun des termes de la fraction 3/4, on aura 9/12, fraction nouvelle absolument égale à la première; si on multiplie par 10 les deux termes de la fraction 27/100, ce qui se fera en ajoutant à chacun un zéro, on aura 270/1000, fraction nouvelle,

dont l'expression est différente, mais dont la valeur est absolument la même.

C'est précisément ce que l'on fait en ajoutant des zéro à une fraction décimale. Si on y ajoute un zéro, on en fait une quantité dix fois plus grande d'unités dix fois plus petites, mais la valeur est toujours la même. Si donc nous ajoutons trois zéro à la fraction décimale 0.28, qui signifie 28/100, nous en ferons 0.28000, nouvelle fraction décimale, qui signifie 28000/100000, mais don't la valeur est la même que celle de 28/100.

Quoique d'après cela il semble fort inutile d'ajouter des zéro à une fraction décimale, puisqu'ils n'en changent pas la valeur, il est cependant des cas où il est à propos de le faire; ce sont tous ceux où ayant à opérer sur des fractions ou des nombres accompagnés de fractions, on a besoin de leur donner un dénominateur commun, comme nous le ferons connaître par les explications que nous donnerons ci-après. Il suffit, quant à présent, que l'on sache bien que la valeur de la fraction n'est altérée en rien par l'addition ou la suppression d'un ou de plusieurs zéro.

Si l'on a bien compris ce que nous avons dit pour expliquer comment la valeur des chiffres, soit entiers, soit décimaux, qui composent un nombre, dépend de la place qu'ils occupent relativement à celle des unités, on comprendra facilement aussi comment on peut, par la simple transposition du point décimal, donner à un nombre accompagné de fraction une valeur dix fois, cent fois, mille fois, etc. plus grande ou plus petite, c'est-à-dire le multiplier ou le diviser par 10, par 100, par 1000, etc.

Comme cette transposition du point décimal est d'un grand usage dans le calcul décimal, il est essentiel de se familiariser avec les opérations de ce genre. Voici un exemple qui en facilitera beaucoup l'intelligence:

Lorsque dans les opérations du calcul ordinaire on a une fraction exprimée par beaucoup de chiffres, on est dans l'usage de la réduire à une fraction plus simple qui lui soit égale, ou qui du moins en soit le plus approchante; on opère de même, mais avec infiniment plus de facilité, sur les fractions décimales.

Soit, par exemple, la fraction 645/1604; si on voulait la réduire à la fraction la plus simple qui en diffère le moins, on trouverait par les méthodes ordinaires que cette fraction la plus simple serait 2/5.

Si l'on a, au contraire, la fraction décimale équivalente 0.4021, l'opération sera beaucoup plus simple; il suffira de retrancher les trois derniers chiffres; il restera 4 dixièmes, qui sont la même chose que 215.

Il suit de là, que l'on peut retrancher un ou plusieurs des chiffres décimaux qui sont à la suite d'un nombre entier sans altérer ce nombre d'une manière bien sensible, sur-tout si ce nombre est composé lui-même de plusieurs chiffres.

Dans les calculs qui sont relatifs aux mesures et monnaies nouvelles, on est dans l'usage de réduire les décimales à deux ou trois au plus, et l'on a par ce moyen toute l'exactitude désirable dans ces cas, en effet, lorsqu'une quantité est déterminée à quelques dix-millièmes, ou même à quelques millièmes près on peut la regarder comme suffisamment exacte. Les instruments dont on se sert pour mesurer ou pour peser ne donnent pas une aussi grande précision.

La suppression des décimales ne doit pourtant pas se faire trop légèrement et sans faire attention à deux choses : la première, c'est que si l'on a besoin d'obtenir un résultat exact, il est souvent essentiel de ne pas retrancher de décimales avant l'opération, parce que l'on se priverait par là de l'exactitude qu'elles peuvent donner; ce n'est que dans le résultat de l'opération que l'on peut se permettre de supprimer quelques chiffres décimaux, afin de simplifier ce résultat et de le rendre plus facile à saisir et à exprimer.

Ainsi, si l'on avait 32.8174 à multiplier par 5.31549, ce ne serait pas dans ces nombres que l'on supprimerait des décimales, mais bien dans le produit de la multiplication.

La seconde observation à faire, c'est que toutes les fois que l'on veut supprimer quelques décimales d'un nombre donné, il faut examiner si elles ne forment pas ensemble plus de la moitié d'une unité de l'ordre de celles qu'exprime le chiffre précédent; c'est ce qui a lieu toutes les fois que la première de ces décimales que l'on veut supprimer est un chiffre plus élevé que 5, ou un 5 suivi de quelques autres chiffres significatifs; dans ce

cas la fraction est plus grande que 5 dixièmes des unités qu'exprime le chiffre précédent, et 5 dixièmes sont la moitié d'un entier : alors il est nécessaire, pour éviter de trop grandes erreurs, d'augmenter d'une unité le chiffre précédent. Ceci s'entendra mieux par des exemples.

Supposons que nous ayons ce nombre 16.17524.

Il est clair que si nous voulons supprimer les deux dernières décimales 24, nous le pouvons faire sans inconvénient et sans altérer le nombre donné d'une quantité notable; mais si nous voulons supprimer les trois dernières 524, comme elles forment ensemble plus de la moitié d'une unité de l'ordre de celles qu'exprime le chiffre précédent 7, nous augmenterons ce dernier chiffre d'une unité, et nous en ferons un 8; nous aurons alors 16.18, nombre qui diffère moins de 16.17524, que n'en différerait 16.17: en effet, 16.18 est plus grand que le nombre donné de 476 cent millièmes, 16.17 serait plus petit de 524 cent millièmes.

Soit encore ce nombre 3.406203.

Nous pouvons sans crainte supprimer les trois derniers chiffres 203, parce qu'ils ne forment pas ensemble une quantité égale à la moitié d'un millième, qui est l'espèce des unités qu'exprime le 6; mais si nous voulons retrancher les quatre derniers chiffres 6203, comme ils forment ensemble une quantité plus grande que la moitié d'un centième, dont le chiffre précédent o occupe la place, nous mettrons un 1 à la place de ce zéro, et nous aurons pour résultat 3.41

Soit encore cet autre nombre 7.9999, il est évident que nous ne pouvons pas supprimer un seul des chiffres décimaux sans être obligé de supprimer les autres, et d'augmenter le chiffre 7 d'une unité, ce qui en fera un 8: en effet, 7.9999 ne diffère