ainsi les coordonnées X, Y, Z ne déterminant qu'un seul point, on voit que le centre de gravité d'un système de corps est unique. Les trois équations précédentes donnent

l'on peut mettre sous cette forme:

Σ.m.(x2 + y2+z3) Σ .mm'. { ( x'—x)2+(y'—y')2+ (2'—2)2 }
Σ.m)

Σ.m

2

l'intégrale finie Σ.mm'. { (x' — x)2 + (y'—y)2 + (z' —z)'} exprimant la somme de tous les produits semblables à celui qui est renfermé sous la caractéristique Σ, et que l'on peut former en considérant deux à deux tous les corps du système. On aura donc ainsi la distance du centre de gravité à un point fixe quelconque, au moyen des distances des corps du système à ce même point fixe, et de leurs distances mutuelles. En déterminant de cette manière la distance du centre de gravité à trois points fixes quelconques, on aura sa position dans l'espace; ce qui donne un nouveau moyen de le déterminer.

On a étendu la dénomination de centre de gravité à un point d'un système quelconque de corps pesants ou non pesants, déterminé par les trois coordonnées X, Y, Z.

16. Il est facile d'appliquer les résultats précédents à l'équilibre d'un corps solide de figure quelconque, en le concevant formé d'une infinité de points liés fixement entre eux. Soit donc dm, un de ces points, ou une molécule infiniment petite du corps; soient x, y, z, les coordonnées rectangles de cette molécule; soient encore P, Q, R, les forces dont elle est animée parallèlement aux axes des x, des y et des z; les équations (m) et (n) du numéro précédent se changeront dans les suivantes :

o=fP.dm, o=fQ.dm, o=fR.dm; o=f(Py―Qx). dm, o=f(Pz-Rx). dm, o=f(Ry-Qz). dm;

le signe intégral ƒ étant relatif à la molécule dm, et devant s'étendre à la masse entière du solide.

Si le corps ne peut que tourner autour de l'origine des coordonnées, les trois dernières équations suffisent pour l'équilibre.

CHAPITRE IV.

DE L'ÉQUILIBRE DES FLUIDES.

17. Pour avoir les lois de l'équilibre et du mouvement de chacune des molécules fluides, il faudrait connaître leur figure, ce qui est impossible; mais nous n'avons besoin de déterminer ces lois que pour les fluides considérés en masse, et alors la connaissance des figures de leurs molécules devient inutile. Quelles que soient ces figures, et les dispositions qui en résultent dans les molécules intégrantes, tous les fluides pris en masse doivent offrir les mêmes phénomènes dans leur équilibre et dans leurs mouvements, en sorte que l'observation de ces phénomènes ne peut rien nous apprendre sur la configuration des molécules fluides. Ces phénomènes généraux sont fondés sur la mobilité parfaite de ces molécules, qui peuvent ainsi céder au plus léger effort. Cette mobilité est la propriété caractéristique des fluides; elle les distingue des corps solides, et sert à les définir. Il en résulte que, pour l'équilibre d'une masse fluide, chaque molécule doit être en équilibre en vertu des forces qui la sollicitent, et des pressions qu'elle éprouve de la part des molécules environnantes. Développons les équations qui résultent de cette propriété.

Pour cela, considérons un système de molécules fluides formant un parallelipipède rectangle infiniment petit. Soient x, y, z, les trois coordonnées rectangles de l'angle de ce parallélipipède, le plus voisin de l'origine des coordonnées. Soient dx, dy, dz, les trois dimensions de ce parallélipipède; nommons P la moyenne de toutes les pressions qu'éprouvent les différents points de la face dy.dz du parallélipipède, la plus voisine de l'origine des

coordonnées, et p' la même quantité relative à la face opposée. Le parallelipipède, en vertu de la pression qu'il éprouve, sera sollicité parallèlement à l'axe des x par une force égale à (p—p').dy.dz. p'—p est la différence de p prise en ne faisant varier que x; car, quoique la pression p' agisse en sens contraire de p, cependant la pression qu'éprouve un point du fluide étant la même dans tous les sens, p'-p peut être considéré comme la différence de deux forces infiniment voisines et agissantes dans le même sens; on a donc p'-p=

(dp).da;
dx; et (p—p').dy.dz

dx

(d).da.dy.dz.

Soient P, Q, R, les trois forces accélératrices qui animent d'ailleurs les molécules fluides, parallèlement aux axes des x, des y, et des z; si l'on nomme p la densité du parallélipipède, sa masse sera p.dx dy dz, et le produit de la force P par cette masse sera la force entière qui en résulte pour la mouvoir; cette masse sera, par conséquent, sollicitée, parallèlement à l'axe des x, par la force

{PP (1)}.da.dy.dz. Elle sera pareillement sollicitée, paral

lèlement aux axes des y et des z, par les forces

PQ-(.dx.dy.dz, et pR-(d)}.dx.dy.dz;

on aura donc, en vertu de l'équation (b) du n° 3,

pre

Le second membre de cette équation doit être, comme le mier, une variation exacte; ce qui donne les équations suivantes aux différences partielles,

d. P

Q

(dipp)=(d:p?), (d.pP)=(d.pR), (d.pQ)=(d.pR)

d'où l'on tire

dx

dz

dx

dz

R

= P. (d?) — Q. ( 12 ) + R. (14) — P. (—) + Q. (Z) — R.

dz

dz

dy

d Q dx

;

Cette équation exprime la relation qui doit exister entre les forces P, Q, R, pour que l'équilibre soit possible.

Si le fluide est libre à sa surface, ou dans quelques parties de cette surface, la valeur de p sera nulle dans ces parties; on aura donc &p=0, pourvu que l'on assujettisse les variations dx, dy, dz à appartenir à cette surface; ainsi, en remplissant ces conditions,

on aura

=P.dx+Q.dy+R.dz.

Soit du=o, l'équation différentielle de la surface, on aura

P.dx+Q.dy+R.Sz=λ.du,

λ étant une fonction de x, y, z; d'où il suit, par le n° 3, que la résultante des forces P, Q, R, doit être perpendiculaire aux parties de la surface dans lesquelles le fluide est libre.

Supposons que la variation P.8x+Q.dy+R.dz, soit exacte, ce qui a lieu par le n° 2, lorsque les forces P, Q, R, sont le résultat de forces attractives. Nommons alors de cette variation; on aura Sp=p.87; p doit donc être fonction de p et de ; et, comme en intégrant cette équation différentielle on a en fonction de P, on aura p en fonction de p. La pression p est donc la même pour toutes les molécules dont la densité est la même; ainsi dp est nul relativement aux surfaces des couches de la masse fluide dans lesquelles la densité est constante, et l'on a, par rapport à ces surfaces,

0= =P.8x+Q.dy+R.dz.

Il suit de là que la résultante des forces qui animent chaque molécule fluide est, dans l'état d'équilibre, perpendiculaire à la surface de ces couches que l'on a nommées pour cela couches de niveau. Cette condition est toujours remplie si le fluide est homogène et incompressible, puisque alors les couches auxquelles cette résultante est perpendiculaire sont toutes de même densité.