représenteront les forces partielles dans lesquelles on peut la décomposer parallèlement aux trois axes; d'où il est aisé de conclure que cette résultante est la diagonale du parallelogramme construit sur les deux forces.

En général, a, b, c; a', b', c'; a′′, b", c", etc. étant les coordonnées d'un nombre quelconque de forces; aa' + a" + etc. b+b'+b" + etc. c+c+c+ etc. seront les coordonnées de la résultante dont le carré sera la somme des carrés de ces dernières coordonnées; on aura donc ainsi la grandeur et la position de cette résultante.

2. D'un point quelconque de la direction d'une force S, point que nous prendrons pour l'origine de cette force, menons au point matériel M une droite que nous nommerons s; soient x, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du point M, et a, b, c les coordonnées de l'origine de la force; on aura

Si l'on décompose la force S parallèlement aux axes des x, des y et des z, les forces partielles correspondantes seront, par le numéro précédent,

б

(**), (3), (3) exprimant, suivant la notation reçue, les coeffi

бх

бу

cients des variations dx, dy, dz, dans la variation de l'expression précédente de s.

Si l'on nomme pareillement s', la distance de M à un point quelconque de la direction d'une autre force S', pris pour l'origine de cette force; S'. sera cette force décomposée parallèlement

à l'axe des x, et ainsi de suite; la somme des forces S, S', S", etc. décomposées parallèlement à cet axe, sera donc Σ. S.

(); la

бх

caractéristique des intégrales finies exprimant ici la somme

des termes S. (3), S'. (3),

бх

etc.

Soit V la résultante de toutes les forces S, S', etc. et u la distance du point M à un point de la direction de cette résultante,

pris pour son origine; V.(54) sera l'expression de cette résul

tante décomposée parallèlement à l'axe des x; on aura donc, par le numéro précédent,

V. (34) = 2.S. (33), V. (32) = 2. S. (32);

d'où l'on tire, en multipliant respectivement ces trois équations par dx, dy, dz, et en les ajoutant ensemble,

V.du=2.S.ds; (a)

Cette dernière équation ayant lieu, quelles que soient les variations dx, dy, dz, elle équivaut aux trois précédentes. Si son second membre est la variation exacte d'une fonction, on aura V.dud, et par conséquent,

бх

c'est-à-dire que la somme de toutes les forces S, S', etc. décomposées parallèlement à l'axe des x, est égale à la différence partielle Ce cas a généralement lieu lorsque ces forces sont respectivement fonctions de la distance de leur origine au point M. Alors, pour avoir la résultante de toutes ces forces, décomposée parallèlement à une droite quelconque, on prendra l'intégrale E.JS,ds, et en nommant cette intégrale, on la considérera comme une fonction de x, et de deux autres droites perpendiculaires entre

TOME I.

2

sera la résultante des forces

elles et à x; la différence partielle

бх

S, S', etc. décomposée parallèlement à la droite x.

3. Lorsque le point M est en équilibre, en vertu de toutes les forces qui le sollicitent, leur résultante est nulle, et l'équation (a) devient

o=2.S.ds; (b)

c'est-à-dire que, dans le cas de l'équilibre d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces, la somme des produits de chaque force par l'élément de sa direction est nulle.

Si le point M est forcé d'être sur une surface courbe, il éprouvera de sa part une réaction que nous désignerons par R. Cette réaction est égale et directement contraire à la pression que le point exerce sur la surface; car en le concevant animé des deux forces R et R, on peut supposer que la force -R est détruite par la réaction de la surface, et qu'ainsi le point M presse la surface avec la force — R; or la force de pression d'un point sur une surface lui est perpendiculaire : autrement elle pourrait se décomposer en deux, l'une perpendiculaire à la surface, et qui serait détruite par elle; l'autre parallèle à la surface, et en vertu de laquelle le point n'aurait point d'action sur cette surface, ce qui est contre la supposition. En nommant donc r la perpendiculaire menée par le point M à la surface, et terminée à un point quelconque de sa direction, la force R sera dirigée suivant cette perpendiculaire : il faudra donc ajouter R. dr au second membre de l'équation (b), qui devient ainsi

0=2.S.Ss+R.Sr; (c)

- R étant alors la résultante de toutes les forces S, S', etc. elle ́est perpendiculaire à la surface.

Si l'on suppose que les variations arbitraires dx, sy, dz,

бу

appartiennent à la surface courbe sur laquelle le point est assujetti, on a par la nature de la perpendiculaire à cette surface, dro, ce qui fait disparaître R.dr de l'équation précédente : l'équation (b) a donc encore lieu dans ce cas, pourvu que l'on élimine l'une des trois variations x, y, z, au moyen de l'équation à la surface; mais alors l'équation (b), qui dans le cas général équivaut à trois équations, n'équivaut plus qu'à deux équations distinctes, que l'on obtient en égalant séparément à zéro les coefficients des deux différentielles restantes. Soit u=o l'équation de la surface, les deux équations dro et dụ auront lieu en même temps; ce qui exige que dr soit égal à N.du, N étant fonction de x, y, z. Pour la déterminer, nommons a, b, c, les coordonnées de l'origine de r; on aura

r = √(x− a)2+(y—b)2+(z—c)3 ;

le terme R. dr de l'équation (c) se changera dans λ.du, et cette équation deviendra

0=2.S.ds+λ.du;

équation dans laquelle on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations dx, dy, dz, ce qui donne trois équations; mais elles n'équivalent qu'à deux équations entre x, y, z, à cause de l'indéterminée à qu'elles renferment. On peut donc, au lieu

d'éliminer de l'équation (b) une des variations dx, y, dz, au moyen de l'équation différentielle à la surface, lui ajouter cette équation multipliée par une indéterminée λ, et considérer alors les variations dx, dy, dz, comme indépendantes. Cette méthode, qui résulte encore de la théorie de l'élimination, réunit à l'avantage de simplifier le calcul, celui de faire connaître la pression -R que le point M exerce contre la surface.

Concevons ce point renfermé dans un canal à simple ou à double courbure; il éprouvera de la part de ce canal une réaction que nous désignerons par k, et qui sera égale et directement contraire à la pression que le point exerce contre le canal, et dont la direction sera perpendiculaire au côté du canal : or la courbe formée par ce canal est l'intersection de deux surfaces dont les équations expriment sa nature; on peut donc considérer la force k comme la résultante des deux réactions R et R' que le point M éprouve de la part de chacune des surfaces, puisque les directions des trois forces R, R' et k étant perpendiculaires au côté de la courbe, elles sont dans un même plan. En nommant ainsi dr, dr' les éléments des directions des forces R et R', directions respectivement perpendiculaires à chaque surface, il faudra ajouter à l'équation (b) les deux termes R. dr et R'.dr', ce qui la change dans celle-ci :

0=Σ S.ds+R. Sr+R'.dr. (d)

Si l'on détermine les variations dx, dy, dz, de manière qu'elles appartiennent à la fois aux deux surfaces, et par conséquent à la courbe formée par le canal, dr et dr' seront nuls, et l'équation précédente se réduira à l'équation (b), qui, par conséquent, a encore lieu dans le cas où le point M est assujetti à se mouvoir dans un canal; pourvu qu'au moyen des deux équations qui expriment la nature de ce canal, on fasse disparaître deux des variations dx, dy, dz.